Equivalência da equação de Heisenberg à equação de Schrödinger no SDC GRACELI

{\ frac {d} {dt}} A (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} [H, A (t)] + \ left ({\ frac {\ A parcial} {\ t parcial }} \ right) _ {H},

n_{i}(\epsilon ,T)={\frac {g_{i}}{e^{\frac {\epsilon -\mu }{k_{B}T}}+1}}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

\ langle A \ rangle _ {t} = \ langle \ psi (t) | A | \ psi (t) \ rangle.

n_{i}(\epsilon ,T)={\frac {g_{i}}{e^{\frac {\epsilon -\mu }{k_{B}T}}+1}}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

| \ psi (t) \ rangle = U (t) | \ psi (0) \ rangle.

n_{i}(\epsilon ,T)={\frac {g_{i}}{e^{\frac {\epsilon -\mu }{k_{B}T}}+1}}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

{\ displaystyle {d \ over dt} U (t) = - {iH \ over \ hbar} U (t)}

n_{i}(\epsilon ,T)={\frac {g_{i}}{e^{\frac {\epsilon -\mu }{k_{B}T}}+1}}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

{\ displaystyle {\ operatorname {d} \ over \ nome_do_operacional {d} \! t} A (t) = {i \ over \ hbar} [H, A (t)] + e ^ {+ iHt / \ hbar} \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right) e ^ {- iHt / \ hbar},}

n_{i}(\epsilon ,T)={\frac {g_{i}}{e^{\frac {\epsilon -\mu }{k_{B}T}}+1}}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

{\ displaystyle \ {A, H \} = {\ frac {\ operatorname {d} \! A} {\ nome_do_operacional {d} \! t}},}

n_{i}(\epsilon ,T)={\frac {g_{i}}{e^{\frac {\epsilon -\mu }{k_{B}T}}+1}}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

Na física , o quadro de Heisenberg (também chamado de representação de Heisenberg ^[1] ) é uma formulação (em grande parte devido a Werner Heisenberg em 1925) da mecânica quântica na qual os operadores ( observáveis e outros) incorporam uma dependência no tempo, mas os vetores de estado são independentes do tempo, uma base fixa arbitrária rigidamente subjacente à teoria.

Em contraste com o quadro de Schrödinger, em que os operadores são constantes, os estados evoluem no tempo. As duas imagens diferem apenas por uma mudança de base em relação à dependência de tempo, que corresponde à diferença entre as transformações ativa e passiva . O quadro de Heisenberg é a formulação da mecânica matricial de maneira arbitrária, na qual o hamiltoniano não é necessariamente diagonal.

Além disso, serve para definir uma terceira imagem híbrida, a imagem da interação .

Detalhes matemáticos

No quadro de Heisenberg da mecânica quântica, os vetores de estado, | ψ ( t ) do , não muda com o tempo, enquanto os observáveis

A

satisfazem

{\ frac {d} {dt}} A (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} [H, A (t)] + \ left ({\ frac {\ A parcial} {\ t parcial }} \ right) _ {H},

onde

H

é o Hamiltoniano e [•, •] denota o comutador de dois operadores (neste caso,

H

A

). Tomando os valores esperados automaticamente, o teorema de Ehrenfest éapresentado no princípio da correspondência .

Pelo teorema de Stone-von Neumann , a imagem de Heisenberg e a imagem de Schrödinger são unitariamente equivalentes, apenas uma mudança de base no espaço de Hilbert. Em certo sentido, o quadro de Heisenberg é mais natural e conveniente do que o quadro equivalente de Schrödinger, especialmente para as teorias relativistas . A invariância de Lorentz é manifesta na imagem de Heisenberg, uma vez que os vetores de estado não separam o tempo ou o espaço.

Esta abordagem também tem uma semelhança mais direta com a física clássica : simplesmente substituindo o comutador acima pela faixa de Poisson , a equação de Heisenberg se reduz a uma equação na mecânica hamiltoniana .

Equivalência da equação de Heisenberg à equação de Schrödinger]

Por uma questão de pedagogia, a imagem de Heisenberg é apresentada aqui a partir da subsequente, mas mais familiar, imagem de Schrödinger .

O valor esperado de um A observável , que é um operador linear hermitiano , para um dado estado de Schrödinger | ψ ( t )〉, é dado por

\ langle A \ rangle _ {t} = \ langle \ psi (t) | A | \ psi (t) \ rangle.

No quadro de Schrödinger, o estado | ψ ( t )〉 no momento

t

está relacionado ao estado | ψ (0)〉 no tempo 0 por um operador de evolução temporal unitária ,

U (t)

| \ psi (t) \ rangle = U (t) | \ psi (0) \ rangle.

Na imagem de Heisenberg, considera-se que todos os vetores de estados permanecem constantes em seus valores iniciais | ψ (0) whereas , enquanto os operadores evoluem com o tempo de acordo

{\ displaystyle A (t): = U ^ {\ adaga} (t) AU (t) \.}

A equação de Schrödinger para o operador de evolução temporal é

{\ displaystyle {d \ over dt} U (t) = - {iH \ over \ hbar} U (t)}

onde H é o Hamiltoniano e ħ é a constante reduzida de Planck .

Segue-se agora que

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ nome_do_operatório {d} \ over \ operatorname {d} \! t} UU (t) & = {i \ over \ hbar} U ^ {\ adaga} (t) HAU ( t) + U ^ {\ adaga} (t) \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right) U (t) + {i \ por cima \ hbar} U ^ {\ dagger} (t) A (-H) U (t) \\ & = {i \ over \ hbar} U \ {\ adaga} (t) HU (t) U ^ {\ adaga} (t) \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right) U (t) - {i \ over \ hbar} U ^ {\ adaga} (t) AU (t) U ^ {\ adaga} (t) HU (t) \\ & = {i \ sobre \ hbar} \ left (H (t) A (t) -A (t) H (t) \ right ) + U ^ {\ adaga} (t) \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right) U (t), \ end {alinhado}}}

onde a diferenciação foi realizada de acordo com a regra do produto . Note que o hamiltoniano que aparece na linha final acima é o hamiltoniano Heisenberg H ( t ), que pode diferir do Hamiltoniano de Schrödinger.

Um importante caso especial da equação acima é obtido se o hamiltoniano não variar com o tempo. Então, o operador de evolução temporal pode ser escrito como

{\ displaystyle U (t) = e ^ {- iHt / \ hbar},}

Assim sendo,

{\ displaystyle \ langle A \ rangle _ {t} = \ langle \ psi (0) | e ^ {+ iHt / \ hbar} Ae ^ {- iHt / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle.}

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ nome_do_operatório {d} \ over \ operatorname {d} \! t} A (t) & = {i \ over \ hbar} Ele ^ {iHt / \ hbar} Ae ^ { -iHt / \ hbar} + e ^ {+ iHt / \ hbar} \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right) e ^ {- iHt / \ hbar} + {i \ over \ hbar} e ^ {+ iHt / \ hbar} A \ cdot (-H) e ^ {- iHt / \ hbar} \\ & = {i \ over \ hbar} e ^ {iHt / \ hbar} \ left ( HA-AH \ right) e ^ {- iHt / \ hbar} + e ^ {+ iHt / \ hbar} \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right) e ^ {- iHt / \ hbar} \\ & = {i \ over \ hbar} \ left (HA (t) -A (t) H \ right) + e ^ {+ iHt / \ hbar} \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right) e ^ {- iHt / \ hbar}. \ End {alinhado}}}

Aqui ∂ A / ∂ t é a derivada de tempo do operador inicial A , não o operador A ( t ) definido. A última equação ocupa desde

exp (- i H t / h)

comuta com

H

Se o Hamiltoniano não varia com o tempo, então o operador de evolução temporal pode ser escrito como

{\ displaystyle U (t) = e ^ {- iHt / \ hbar},}

onde

H

é o Hamiltoniano e

ħ

é a constante reduzida de Planck . Assim sendo,

{\ displaystyle \ langle A \ rangle _ {t} = \ langle \ psi (0) | e ^ {+ iHt / \ hbar} Ae ^ {- iHt / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle.}

portanto

{\ displaystyle {\ operatorname {d} \ over \ nome_do_operacional {d} \! t} A (t) = {i \ over \ hbar} [H, A (t)] + e ^ {+ iHt / \ hbar} \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right) e ^ {- iHt / \ hbar},}

e, portanto, surge o acima Heisenberg equação de movimento, uma vez que a dependência funcional convectivo em x (0) e P (0) converte a mesma dependência de x ( t ), p ( t ), de modo que o último termo converte a ∂ Um ( t ) / ∂ t . [ X , Y ] é o comutador de dois operadores e é definido como [ X , Y ]: = XY - YX .

A equação é resolvida pelo A ( t ) definido acima, como é evidente pelo uso da identidade do operador padrão ,

{\ displaystyle {e ^ {B} Ae ^ {- B}} = A + [B, A] + {\ frac {1} {2!}} [B, [B, A]] + {\ frac {1 } {3!}} [B, [B, [B, A]]] + \ cdots \.}

que implica

{\ displaystyle A (t) = A + {\ frac {it} {\ hbar}} [H, A] + {\ frac {1} {2!}} \ left ({\ frac {it} {\ hbar} } \ right) ^ {2} [H, [H, A]] + {\ frac {1} {3!}} \ left ({\ frac {it} {\ hbar}} \ right) ^ {3} [H, [H, [H, A]]] + \ pontos}

Esta relação também vale para a mecânica clássica , o limite clássico do acima, dada a correspondência entre parênteses de Poisson e comutadores ,

{\ displaystyle [A, H] \ quad \ longleftrightarrow \ quad \ hbar \ {A, H \}}

Na mecânica clássica, para um A sem dependência de tempo explícita,

{\ displaystyle \ {A, H \} = {\ frac {\ operatorname {d} \! A} {\ nome_do_operacional {d} \! t}},}

Então, novamente, a expressão para A ( t ) é a expansão de Taylor em torno de t = 0.

Com efeito, a rígida base arbitrária de Hilbert | ψ (0) rec recuou de vista, e só é considerado na última etapa de tomar valores de expectativa específicos ou elementos de matriz de observáveis.

n_{i}(\epsilon ,T)={\frac {g_{i}}{e^{\frac {\epsilon -\mu }{k_{B}T}}+1}}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

Em mecânica estatística, a estatística de Fermi-Dirac é uma estatística quântica que rege as partículas de spin semi-inteiro, os férmions. Leva o nome de dois eminentes físicos: Enrico Fermi e Paul Adrien Maurice Dirac cada um dos quais descobriu o método de forma independente (embora Fermi definisse as estatísticas anteriores ao Dirac).^[1]^[2]

Formulação matemática

A distribuição de Fermi-Dirac é dada por

n_{i}(\epsilon ,T)={\frac {g_{i}}{e^{\frac {\epsilon -\mu }{k_{B}T}}+1}}

Onde:

n_{i}

é o número médio de partículas no estado de energia

\epsilon _{i}

g_{i}

é a degeneração do estado i-ésimo

\epsilon _{i}

é a energia no estado i-ésimo

\mu

é o potencial químico

T

é a temperatura

k_{B}

a constante de Boltzmann

Nos casos em que

\mu

é a energia de Fermi

E_{F}\

g_{i}=1\

, a função é chamada de função Fermi:

F(E)={\frac {1}{e^{(\epsilon _{i}-E_{F})/kT}+1}}

Fermi-Dirac distribution as a function of temperature. More states are occupied at higher temperatures.

Interpretação física[editar | editar código-fonte]

Para baixas temperaturas, a distribução de Fermi é uma função de passo que vale 1 se $\epsilon <\mu$ e 0 se $\epsilon >\mu$ . Isto quer dizer que as partículas vão se posicionando desde o nivel mais baixo de energia até acima devido ao princípio de exclusão de Pauli até que se tenham postas todas as partículas. A energia do último nível ocupado se denomina energia de Fermi e a temperatura à que corresponde esta energia mediante $\epsilon _{f}=k_{B}T_{f}$ , a temperatura de Fermi.

Se da circunstância de que a temperatura de Fermi da maioria dos metais reais é enorme (da ordem de 10000 Kelvin), portanto a aproximação de dizer que a distribução de Fermi-Dirac segue sendo um escalar até temperatura ambiente é válida com bastante precisão.

A distribuição de Fermi-Dirac tem importância capital no estudo de gases de férmions e em particular no estudo dos elétrons livres em um metal.

Aplicações

Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein aplicadas quando efeitos quânticos tendem a ser levadas em conta e as partículas são consideradas "indistinguíveis". Os efeitos quânticos aparecem se a concentração de partículas (N/V) ≥ n_q(aonde n_q é a concentração quântica). A concentração quântica é quando a distância interpartículas é igual ao comprimento de onda térmico de de Broglie, i.e. quando a funções de onda das partículas são atingidos mas não ultrapassados. Como a concentração quântica depende da temperatura; altas temperaturas irão colocar a maioria dos sistemas no limite clássico sem eles terem uma muito alta densidade, e.g. uma anã branca. A estatística de Fermi–Dirac é aplicada a férmions (partículas que obedecem ao princípio de exclusão de Pauli), a estatística de Bose–Einstein é aplicada a bósons. Tanto Fermi–Dirac e Bose–Einstein tornam-se a estatística de Maxwell–Boltzmann a altas temperaturas ou baixas concentrações.

Estatísticas de Maxwell–Boltzmann são frequentemente descritas como estatísticas de partículas clássicas "distinguíveis". Em outras palavras a configuração de partícula A no estado 1 e a partícula B no estado 2 é diferente do caso aonde a partícula B está no estado 1 e a partícula A está no estado 2. Quando esta idéia é estendida, conduz à distribuição própria (de Boltzmann)de partículas em estados de energia, mas conduz a resultados sem significado físico para a entropia, conforme encorporado no paradoxo de Gibbs. Estes problemas desaparecem quando se percebe que todas as partículas são de fato indistinguíveis entre sí. Ambas as distribuições se aproximam da distribuição de Maxwell-Boltzmann no limite de alta temperatura e baixa densidade, sem a necessidade de quaisquer pressupostos adicionais ad hoc. A distribuição estatística de Maxwell–Boltzmann é particularmente útil para estudar gases. A distribuição estatística de Fermi–Dirac é mais usualmente usada para o estudo do comportamento de elétrons em sólidos. Como tal, é a base da teoria dos dispositivos semicondutores e da eletrônica.

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

as dimensões categorias podem ser divididas em cinco formas diversificadas.

tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, especificidades de transições de energias, de fenômenos, de estados de energias, físicos [estruturais], de fenômenos, estados quântico, e outros.

paradox of the system of ten dimensions and categories of Graceli.

a four-dimensional system can not define all the energies, changes of structures, states and phenomena within a structure, that is why there are ten or more dimensions, I have developed and I work with ten, but nature certainly goes beyond ten, with this we move to a decadimensional and categorial universe.

that is, categories ground the variables of phenomena and their interactions and transformations.

and with this we do not have a relationship with mass, but with structure, therefore, a structure carries with it much more than mass, since also mass is related to forces, inertia, resistances and energies.

but structures are related to transitions of physical states, quantum, energies, phenomena, and others.

as well as transitions of energies, phenomena, categories and dimensions.

paradoxo do sistema de dez dimensões e categorias de Graceli.

um sistema de quatro dimensões não tem como definir todas as energias, mudanças de estruturas, estados e fenômenos dentro de uma estrutura, por isto se tem dez ou mais dimensões, desenvolvi e trabalho com dez, mas a natureza com certeza vai alem das dez, com isto caminhamos para um universo decadimensional e categorial.

ou seja, as categorias fundamentam as variáveis dos fenõmenos e suas interações e transformações.

e com isto não se tem uma relação com massa, mas com estrutura, pois, uma estrutura carrega consigo muito mais do que massa, uma vez também que massa está relacionado com forças, inércia, resistências e energias.

mas estruturas está relacionado com transições de estados físicos, quântico, de energias, de fenômenos, e outros.

como também transições de energias, fenômenos, categorias e dimensões.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

postulado categorial e decadimensional Graceli.

TUDO QUE ESTÁ RELACIONADO COM ENERGIA, ESTRUTURAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES ESTÁ INSERIDO NO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.

todo sistema decadimensional e categorial é um sistema transcendente e indeterminado.

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

1] Cosmic space.
2] Cosmic and quantum time.
3] Structures.
4] Energy.
5] Phenomena.
6] Potential.
7] Phase transitions of physical [amorphous and crystalline] states and states of energies and phenomena of Graceli.
8] Types and levels of magnetism [in paramagnetic, diamagnetic, ferromagnetic] and electricity, radioactivity [fissions and fusions], and light [laser, maser, incandescence, fluorescence, phosphorescence, and others.
9] thermal specificity, other energies, and structure phenomena, and phase transitions.
10] action time specificity in physical and quantum processes.

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

8]Tipos e níveis de magnetismo [em paramagnéticos, diamagnético, ferromagnéticos] e eletricidade, radioatividade [fissões e fusões], e luz [laser, maser, incandescências, fluorescências, fosforescências, e outros.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Matriz categorial de Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, temperatura, eletricidade, magnetismo, radioatividade, luminescências, dinâmicas, estruturas, fenômenos, transições de fenômenos e estados físicos, e estados de energias, dimensões fenomênicas de Graceli.

[estruturas: isótopos, partículas, amorfos e cristalinos, paramagnéticos, dia, ferromagnéticos, e estados [físicos, quântico, de energias, de fenômenos, de transições, de interações, transformações e decaimentos, emissões e absorções, eletrostático, condutividade e fluidez]].

trans-intermecânica de supercondutividade no sistema categorial de Graceli.

EPG = d [hc] [T / IEEpei [pit] = [pTEMRLD] and [fao] [itd] [iicee] tetdvd [pe] cee [caG].]

p it = potentials of interactions and transformations.
Temperature divided by isotopes and physical states and potential states of energies and isotopes = emissions, random wave fluxes, ion interactions, charges and energies structures, tunnels and entanglements, transformations and decays, vibrations and dilations, electrostatic potential, conductivities, entropies and enthalpies. categories and agents of Graceli.

h e = quantum index and speed of light.

[pTEMRlD] = THERMAL, ELECTRICAL, MAGNETIC, RADIOACTIVE, Luminescence, DYNAMIC POTENTIAL] ..

EPG = GRACELI POTENTIAL STATUS.

[pTFE] = POTENCIAL DE TRANSIÇÕES DE FASES DE ESTADOS FÍSICOS E DE ENERGIAS E FANÔMENOS [TRANSIÇÕES DE GRACELI]

, [pTEMRLD] [hc] [pI] [PF] [pIT][pTFE] [CG].

Equivalência da equação de Heisenberg à equação de Schrödinger no SDC GRACELI

sábado, 19 de janeiro de 2019

Detalhes matemáticos

Equivalência da equação de Heisenberg à equação de Schrödinger]

A equação fundamental de Gibbs

Formulação matemática

Interpretação física[editar | editar código-fonte]

Aplicações

A equação fundamental de Gibbs